Question

10．（1）已知：在平行四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图①所示）．求证：S_△OBC•S_△OAD=S_△OAB•S_△OCD．
（2）将（1）中的平行四边形ABCD变成一般四边形ABCD（如图②所示），直接说出（1）中的结论是否成立？并说出当点O满足什么条件时，S_△OAD+S_△OBC=S_△OAB+S_△OCD．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥OB于M，作CN⊥BD于N，设AM=h₁，CN=h₂，根据三角形的面积公式分别计算要证明的等式的左边和右边即可；
（2）作AE⊥DB于E，CF⊥BD于F，根据三角形的面积公式分别计算要证明的等式的左边和右边即可．

解答 （1）证明：作AM⊥OB于M，作CN⊥BD于N，如图1所示：
设AM=h₁，CN=h₂，
则${S}_{△OBC}=\frac{1}{2}OB•{h}_{1}$，${S}_{△OAD}=\frac{1}{2}OD•{h}_{1}$，${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}OB•{h}_{1}$，${S}_{△OCD}=\frac{1}{2}OD•{h}_{2}$，
∴S_△OBC•S_△OAD=$\frac{1}{2}$OB•h₂•$\frac{1}{2}$OD•h₁，S_△OAB•S_△OCD=$\frac{1}{2}$OB•h₁•$\frac{1}{2}$OD•h₂，
∴S_△OBC•S_△OAD=S_△OAB•S_△OCD．
（2）成立；理由如下：
解：作AE⊥DB于E，CF⊥BD于F，如图2所示：
则有：S_△AOB=$\frac{1}{2}$BO•AE，S_△COD=DO•CF，
S_△AOD=$\frac{1}{2}$DO•AE，S_△BOC=$\frac{1}{2}$BO•CF，
∴S_△AOB•S_△COD=$\frac{1}{4}$BO•DO•AE•CF，
S_△AOD•S_△BOC=$\frac{1}{4}$BO•DO•CF•AE，
∴S_△AOB•S_△COD=S_△AOD•S_△BOC．

点评 本题考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算方法；熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用三角形的面积公式是解决问题的关键．