Question

已知：AB∥CD，AD与BC交于点M，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．
（1）如图1，当∠ABC=40°，∠ADC=60°时，求∠E的度数；
（2）如图2，当AD⊥BC时，求∠E的度数；
（3）当∠AMB=α°时，直接写出∠E的度数（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，然后根据角平分线的性质可求得∠E的度数；
（2）过E作EF∥AB，首先根据垂直和平行线的性质可得∠ABC+∠ADC=90°，然后根据角平分线的性质可得∠E=

1

2

（∠ABC+∠ADC），即可求解；
（3）结合（1）（2），可得∠BED=

1

2

（∠ABC+∠ADC），即可求解．

解答：解：（1）过E作EF∥AB，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=

1

2

∠ABC=

1

2

×40°=20°，
∠CDE=

1

2

∠BCD=

1

2

×60°=30°，
∴∠ABE=∠BEF=20°，∠CDE=∠DEF=30°，
则∠BED=∠BEF+∠DEF=50°；
（2）过E作EF∥AB，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
∴AD⊥BC，
∴∠AMB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC，
∴∠ABC+∠ADC=90°，
∴∠BED=∠ABE+∠EDC=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ADC=

1

2

×90°=45°；
（3）∵∠AMB=α，
∴∠ABC+∠BAD=180°-α，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC，
∴∠ABC+∠ADC=180°-α，
∵EF∥AB∥CD，
∴∠BED=

1

2

（180°-α）=90°-

1

2

α．

点评：本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是作出辅助线，要求同学们掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．