Question

（2012•深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b=

10

时，直线l：y=-2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b=

10±2

5

时，直线l：y=-2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）①当直线经过圆心M（4，2）时，将圆心坐标代入直线解析式，即可求得b的值；
②当若直线与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线，不要遗漏．
欲求此时b的值，可以先求出切点P的坐标，代入解析式即可；欲求切点P的坐标，可以构造相似三角形△PMN∽△BAO，求得PN=2MN，然后在Rt△PMN中利用勾股定理求出MN和PN，最后求出P点坐标；
（2）本问关键是弄清直线扫过矩形ABCD的运动过程，可以分为五个阶段，分别求出每一阶段S的表达式，如答图2-4所示．

解答：解：（1）①直线l：y=-2x+b（b≥0）经过圆心M（4，2）时，则有：2=-2×4+b，∴b=10；
②若直线l：y=-2x+b（b≥0）与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线．
设直线与x轴、y轴交于A、B点，则A（

b

2

，0）、B（0，b），∴OB=2OA．
由题意，可知⊙M与x轴相切，设切点为D，连接MD；
设直线与⊙M的一个切点为P，连接MP并延长交x轴于点G；
过P点作PN⊥MD于点N，PH⊥x轴于点H．
易证△PMN∽△BAO，
∴PN：MN=OB：OA=2：1，
∴PN=2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM²=PN²+MN²，解得：MN=

2

5

5

，PN=

4

5

5

，
∴PH=ND=MD-MN=2-

2

5

5

，OH=OD-HD=OD-PN=4-

4

5

5

，
∴P（4-

4

5

5

，2-

2

5

5

），代入直线解析式求得：b=10-2

5

；
同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b=10+2

5

．

（2）由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为（2，2）．
由一次函数的性质可知，当b由小到大变化时，直线l：y=-2x+b（b≥0）向右平移，依次扫过矩形ABCD的不同部分．
可得当直线经过A（2，0）时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C（6，2）时，b=14．
①当0≤b≤4时，S=0；
②当4＜b≤6时，如答图2所示．
设直线l：y=-2x+b与x轴交于点P，与AD交于点Q．
令y=0，可得x=

b

2

，∴AP=

b

2

-2；
令x=2，可得y=b-4，∴AQ=b-4．
∴S=S_△APQ=

1

2

AP•AQ=

1

2

（

b

2

-2）（b-4）=

1

4

b²-2b+4；
③当6＜b≤12时，如答图3所示．
设直线l：y=-2x+b与x轴交于点P，与CD交于点Q．
令y=0，可得x=

b

2

，∴AP=

b

2

-2；
令y=2，可得x=

b

2

-1，∴DQ=

b

2

-3．
S=S_梯形APQD=

1

2

（DQ+AP）•AD=b-5；
④当12＜b≤14时，如答图4所示．
设直线l：y=-2x+b与BC交于点P，与CD交于点Q．
令x=6，可得y=b-12，∴BP=b-12，CP=14-b；
令y=2，可得x=

b

2

-1，∴DQ=

b

2

-3，CQ=7-

b

2

．
S=S_矩形ABCD-S_△PQC=8-

1

2

CP•CQ=-

1

4

b²+7b-41；
⑤当b＞14时，S=S_矩形ABCD=8．
综上所述，当b由小到大变化时，S与b的函数关系式为：
S=

0(0≤b≤4) 1 4 b2-2b+4(4＜b≤6) b-5(6＜b≤12) - 1 4 b2+7b-41(12＜b≤14) 8(b＞14)

．

点评：本题是动线型压轴题，综合考查了一次函数的图象与性质、圆的切线性质、相似三角形、矩形、梯形、勾股定理以及图形面积等重要知识点，涉及的考点较多，难度较大，对同学们的解题能力提出了很高的要求．本题的难点在于：（I）第（1）②问中，圆的切线有两条，容易遗漏．求切点坐标时候，注意运用相似关系化简运算；（II）第（2）问中，动直线的运动过程分析是难点，注意划分为五个阶段，分别求出每个阶段S的表达式．