Question

（2012•深圳）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？

Answer 1

分析：（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；
（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；
（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得∠ABF=∠CBA，然后判断出

BF

AB

是否等于

AB

BC

即可作出判断．

解答：解：（1）设函数解析式为：y=ax²+bx+c，
由函数经过点A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6），
可得

16a-4b+c=0 a+b+c=0 4a-2b+c=6

，
解得：

a=-1 b=-3 c=4

，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=-x²-3x+4；

（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得：

k+b=0 -2k+b=6

，
解得：

k=-2 b=2

，
即直线BC的解析式为y=-2x+2．
故可得点E的坐标为（0，2），
从而可得：AE=

AO2+OE2

=2

5

，CE=

(-2-0)2+(6-2)2

=2

5

，
故可得出AE=CE；

（3）相似．理由如下：
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则

-4k+b=0 b=4

，
解得：

k=1 b=4

，
即直线AD的解析式为y=x+4．
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：

y=x+4 y=-2x+2

，
解得：

x=- 2 3 y= 10 3

，
即点F的坐标为（-

2

3

，

10

3

），
则BF=

(- 2 3 -1)2+( 10 3 -0)2

=

5 5

3

，
又∵AB=5，BC=

(-2-1)2+(6-0)2

=3

5

，
∴

BF

AB

=

5

3

，

AB

BC

=

5

3

，
∴

BF

AB

=

AB

BC

，
又∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，解答本题要求我们仔细审题，将所学知识联系起来，综合解答．