Question

【题目】（1）如图，在矩形ABCD中.点O在边AB上，∠AOC=∠BOD.求证：AO=OB.

（2）如图，AB是的直径，PA与相切于点A，OP与相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．

（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．

试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD

∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD

即∠AOD=∠BOC

∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=∠B=90°，AD=BC

∴

∴AO=OB

（2）解：∵AB是的直径，PA与相切于点A，

∴PA⊥AB，

∴∠A=90°.

又∵∠OPA=40°，

∴∠AOP=50°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB.

又∵∠AOP=∠B+∠OCB，

∴.