Question

【题目】在中，，，于点．

（1）如图所示，点，分别在线段，上，且，当，时，求线段的长；

（2）如图所示，点，分别在，上，且，求证：；

（3）如图所示，点在的延长线上，点在上，且，请直接写出，，三者的等量关系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；

（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；

（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．

（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，

∵AB＝2，

∴BC=

∴AD＝BD＝DC=BC＝，

∵∠AMN＝30°，

∴∠BMD＝180°90°30°＝60°，

∴∠MBD＝30°，

∴BM＝2DM，

由勾股定理得，BM2DM2＝BD2，即（2DM）2DM2＝（）2，

解得，DM＝，

∴AM＝ADDM＝；

（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA）

∴BE＝AF；

（3），理由如下：

过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，

∴∠AME＝90°，∠E＝90°-∠BAM=45°，

∴AM=EM,

则AE＝=AM，

∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，

∴∠BME＝∠AMN，

在△BME和△NMA中，

，

∴△BME≌△NMA（ASA），

∴BE＝AN，

∴AB＋AN＝AB＋BE＝AE＝AM．