Question

【题目】如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=－1．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Ｑ从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动．过点Ｑ作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒

①当t为何值时，四边形OMPＱ为矩形；

②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=－－2x+3；（2）①t=；②t=秒或秒或秒．

【解析】试题分析：（1）将抛物线解析式设成顶点式，然后将（1，0）和（0，3）代入求出函数解析式；（2）将x=t代入二次函数解析式，从而得出PQ的长度，然后根据PQ=OM得出方程，求出t的值；（3）首先求出直线AB的解析式，从而得出点N的坐标，求出ON的长度，然后根据等腰三角形的性质分OA=ON，ON=AN，AN=AO三种情况分别求出t的值．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+k，

将（1，0），（0，3）代入，得，解得a=－1，k=4，所以抛物线的解析式为y=－x2－2x+3；

（2）①将x=t，代入y=－x2－2x+3得y=－t2－2t+3，即PQ=－t2－2t+3，当PQ=OM时四边形OMPQ为矩形，即3t=－t2－2t+3，解得t1=，t2=（舍去），所以当t=时，四边形OMPQ为矩形-

②△AON能为等腰三角形

理由如下：

设直线AB的解析式为y=kx+b，将（1，0）（0，3）代入，得，解得k=－3，b=3，

所以AB的解析式为y=－3x+3，将x=t代入，得y=－3t+3，N点的坐标为（t，－3t+3），

ON=

（Ⅰ）当OA=ON时，△AON是等腰三角形，即1=，解得t1=1（舍去），t2=．

（Ⅱ）当ON=AN时，△AON是等腰三角形，因为NQ⊥x轴，所以当OQ=QA，即当t=时，△AON是等腰三角形

（Ⅲ）当AN=AO时，AN2=NQ2+AQ2=（－3t+3）2+（1－t）2，

即（－3t+3）2+（1－t）2=1，解得t1=，t2=＞1，舍去．

综上，当t为秒，秒，秒时，△AON是等腰三角形．