Question

如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点.

（1）求证：是半圆的切线；

（2）若，，求的长.

Answer 1

（1） 证明：连接，

     ∵是直径  ∴

     又∵于  ∴

     ∵  ∴

     ∵是的角平分线

     ∴ 

     又 ∵为弧CF的中点

     ∴   

     ∵于

     ∵   即

     又∵是直径   ∴是半圆的切线

（2）∵，。

由（1）知，，∴。

在中，于，平分，

∴，∴。

由∽，得。  

∴，

∴。