Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0，）、B（3，0）两点与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD-PC|最大时，求a的值；
（3）在线段BC上方的抛物线上有一动点Q，当Q运动到何位置时，△BCQ的面积最大；
（4）在坐标平面内找一点E，使以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）把解析式配成顶点式得到D点坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，于是可得到直线CD与x轴的交点坐标为（-3，0），利用三角形三边的关系得到|PD-PC|≤CD（当且仅当点P、C、D共线时，取等号），此时P点为直线CD与x轴的交点，从而得到a的值；
（3）作QK∥y轴交BC于Q，如图1，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=3x+3，设Q（x，-x²+2x+3），K（x，3x+3），则QK=-x²-x，所以S_△BCQ=$\frac{1}{2}$•1•QK=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x，然后根据二次函数的性质解决问题；
（4）讨论：当CD为对角线，利用平移可得到E点坐标为（2，7）；当BD为对角线或BC为对角线时，利用同样方法求E点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则D（1，4），
设直线CD的解析式为y=mx+n，
把C（0，3），D（1，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
所以直线CD的解析式为y=x+3，
当y=0时，x+3=0，解得x=-3，则直线CD与x轴的交点坐标为（-3，0），
因为|PD-PC|≤CD（当且仅当点P、C、D共线时，取等号），此时P点为直线CD与x轴的交点，
所以a=-3；

（3）作QK∥y轴交BC于Q，如图1，
设直线BC的解析式为y=px+q，
把C（0，3），B（-1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{q=3}\\{-p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=3}\\{q=3}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=3x+3，
设Q（x，-x²+2x+3），K（x，3x+3），则QK=-x²+2x+3-（3x+3）=-x²-x，
S_△BCQ=$\frac{1}{2}$•1•QK=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，
当x=-$\frac{1}{2}$时，△BCQ的面积最大，此时Q点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{4}$）；

（4）如图，当CD为对角线，E点坐标为（2，7）；
当BD为对角线，E′点的坐标为（0，1）；
当BC为对角线，E″点的坐标为（-2，-1）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．