如图.在平面直角坐标系中.顶点为的抛物线交y轴于A点.交x轴于B.C两点.已知A点坐标为．(1)求此抛物线的解析式,(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D.如果以点C为圆心的圆与直线BD相切.请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系.并给出证明,(3)已知点P是抛物线上的一个动点.且位于A.C两点之间.问:当点P运动到什么位置时.△PAC的面积最大?并求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（-4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在C的右侧），已知A点坐标为（0，-3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A、C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

分析（1）设顶点式y=a（x+4）²+1，然后把A点坐标代入求出a即可；
（2）先确定C（-6，0），B（-2，0），A（0，-3），再计算出AB=$\sqrt{13}$，作CF⊥BD于D，如图，接着证明Rt△BCF∽Rt△ABO，利用相似比计算出CF=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，然后计算出点C到直线l的距离，从而可根据直线与圆的位置关系的判定方法判断抛物线的对称轴l与⊙C的位置关系；
（3）作PQ∥y轴交AC于Q，如图，先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-3，设P（t，-$\frac{1}{4}$t²-2t-3），则Q（t，-$\frac{1}{2}$t-3），（-6＜t＜0），则PQ=-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{2}$t=-$\frac{1}{4}$（t-3）²+$\frac{9}{4}$，再利用三角形面积公式得到S_△PAC=-$\frac{3}{4}$（t-3）²+$\frac{27}{4}$，然后利用二次函数的性质解决问题．

解答解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）²+1
把A（0，-3）代入得16a+1=-3，解得a=-$\frac{1}{4}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+4）²+1，即y=-$\frac{1}{4}$x²-2x-3；
（2）抛物线的对称轴l与⊙C相交．理由如下：
当y=0时，-$\frac{1}{4}$（x+4）²+1=0，解得x₁=-2，x₂=-6，则C（-6，0），B（-2，0）；，
当x=0时，y=-$\frac{1}{4}$（x+4）²+1=-3，则A（0，-3），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
作CF⊥BD于D，如图，
∵AB⊥BD，
∴∠ABO+∠FBC=90°，
而∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠FBC=∠OAB，
∴Rt△BCF∽Rt△ABO，
∴CF：OB=BC：AB，即CF：2=4：$\sqrt{13}$，解得CF=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∵抛物线的对称轴为直线x=-4，
∴点C到直线l的距离为-4-（-6）=2，
∵$\frac{8\sqrt{13}}{13}$＞2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交；
（3）作PQ∥y轴交AC于Q，如图，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把C（-6，0），A（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-3，
设P（t，-$\frac{1}{4}$t²-2t-3），则Q（t，-$\frac{1}{2}$t-3），（-6＜t＜0）
∴PQ=-$\frac{1}{4}$t²-2t-3-（-$\frac{1}{2}$t-3）=-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{3}{2}$t=-$\frac{1}{4}$（t-3）²+$\frac{9}{4}$，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$•PQ•6=3PQ=-$\frac{3}{4}$（t-3）²+$\frac{27}{4}$，
当t=3时，△PAC的面积最大，最大值为$\frac{27}{4}$，此时P点坐标为（-3，$\frac{3}{4}$）．