Question

如图， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC边的中点，连接DE.

（1）求证：DE与⊙O 相切.

（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接BD、OD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，

∵E为BC边的中点，∴DE=EC，∴∠1=∠C，∵OA=OD，∴∠2=∠A，

∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C =90°，∴∠1+∠2 =90°，

∴∠ODE =90°，∴OD⊥DE于点D，

∵以AB为直径的⊙O交AC于点D，∴D是半径的外端，

∴DE与⊙O 相切.  

(2) ∵∠BDC=90°，E为BC边的中点，∴ ，∵DE=2，∴BC=4，

在Rt△ABC中，tanC=，

∴AB=BC·=2，

在Rt△ABC中，

AC===6，

又∵△ABD∽△ACB，∴，

即，

∴AD=