Question

【题目】如图，点是⊙外一点，与⊙相切于点，交⊙于点，点，分别为线段，上的动点，若，，则的最小值为________.

Answer 1

【答案】

【解析】

延长PO交⊙于Q，过点A作AA＇⊥OP于C，过A＇作A＇N⊥AP于N，延长PB交⊙于Q，根据切割线定理，得到，先求出圆的半径，再求出，由和求出AC，2AC= AA＇，AN=，求出AN，即AM=MN的最小值；

延长PO交⊙于Q，过点A作AA＇⊥OP于C，过A＇作AN⊥AP于N，延长PB交⊙于Q，设⊙半径为r，

根据切割线定理得，，

∴，

∴r=3；

∴OA=3，OP=5；

∴；

∵AA＇⊥OP，

∴°，

∴P+PAA＇=90°，2+PAA＇=90°，1+PAA＇=90°，

即1=2=P，

∴，

∴，

∴AC=，

∴AA＇=，

又，

∴AN=.

∴AM+MN的最小值为：.

故答案为：.