Question

【题目】如图，在中，弦垂直于直径，垂足为，连结，将沿翻转得到，直线与直线相交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若为的中点，①求证：四边形是菱形；②若，求的半径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②4

【解析】

（1）连接OC，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，结合折叠的性质得∠OCA=∠FAC，于是可判断OC∥AF，然后根据切线的性质得直线FC与⊙O相切；

（2）①连接OD、BD，利用直角三角形斜边上的中线的性质可证得CB=OC=OD=BD，再根据菱形的判定定理即可判定；

②首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△OCE中，根据，构建方程即可解决问题；

（1）如图，连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

由翻折的性质，有∠OAC=∠FAC，∠AEC=∠AFC=90°，

∴∠FAC=∠OCA，

∴∥AF，

∴∠OCG=∠AFC=90°，

故FG是⊙O的切线；

（2）①如图，连接OD、BD，

∵CD垂直于直径AB，

∴OC=OD，BC=BD，

又∵B为OG的中点，

∴，

∴CB=OB，

又∵OB=OC，

∴CB=OC，

则有CB=OC=OD=BD，

故四边形OCBD是菱形；

②由①知，△OBC是等边三角形，

∵CD垂直于直径AB，

∴，

∴，

设⊙O的半径长为R，

在Rt△OCE中，

有，即，

解之得：，

⊙O的半径长为：4．