Question

3．如图，P是正六边形ABCDEF的BC边上的一点，过点P作PM∥AB交AF于M，AD于S，作PN∥CD交DE于N，AD于T，点O是AD的中点，OG平分∠MON，则图中等边三角形有4个．

Answer 1

分析 连接OE，由△OMA≌△ONE，再证出△GOE≌△NOD，由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形．，

解答 解：连接OE，如图所示：
∵P是正六边形ABCDEF的BC边上的一点，PM∥AB，PN∥CD，
∴△AMS、△DNK是等边三角形，
由（2）得，△OMA≌△ONE
∴∠MOA=∠EON，
∵EF∥AO，AF∥OE，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴∠AFE=∠AOE=120°，
∴∠MON=120°，
∴∠GON=60°，
∵∠GOE=60°-∠EON，∠DON=60°-∠EON，
∴∠GOE=∠DON，
∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，
在△GOE和△DON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GOE=∠DON}&{\;}\\{OE=OD}&{\;}\\{∠ODN=∠OEG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GOE≌△NOD（ASA），
∴ON=OG，
又∵∠GON=60°，
∴△ONG是等边三角形，
∴ON=NG，
又∵OM=ON，∠MOG=60°，
∴△MOG是等边三角形，
故答案为：4．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是恰当的作出辅助线，根据三角形全等找出相等的线段．