Question

如图，AB是半圆O的直径，F是半圆上一点，D是OA上一点，过点D作ED⊥AB，交半圆于点C，交BF的延长线于点E，连接AC，AF，BC．
（1）求证：∠E=∠BCF；
（2）求证：BC²=BF·BE；
（3）若BC=12，CF=6，BF=9，那么sin∠AFC= _________ ．

Answer 1

（1）证明：∵∠1=∠2，∠AFB=90 °
∴∠2+∠ABF=90 °
∵∠ABF+∠E=90 °
∴∠E=∠1，即∠E=∠BCF
（2）证明：在△BCE与△BFC中，∠E=∠BCF，∠CBF=∠CBF
故△BCE∽△BFC
∴=，
即BC²=BF·BE

（3）解：将半圆补全，延长ED，交⊙O于K．
∵BC²=BF·BE，BC=12，BF=9
∴BE=
∴CE=××6==8
∴EF=EB﹣FB=﹣9==7
∵EF·EB=EC·EK，即7×=8×（8+2CD）
解得CD=3．
在Rt△BCD中，BC=12
因此sin∠DBC===
又因为∠AFC=∠DBC
所以sin∠AFC=