Question

如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E，则下列结论：①S_△O′OE=

1

2

S_△AOC²；②点D时AC的中点；③

AC

=2AD；④四边形O′DEO是菱形．其中正确的结论是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：连结O′D，OD，由O′E∥AC可判断△OO′E∽△OAC，利用相似三角形的性质得

S△O′OC

S△AOC

=（

OO′

OA

）²=

1

4

；由OA为半圆O′的直径，根据圆周角定理得∠ADO=90°，则根据垂径定理得到AD=CD，即点D时AC的中点；于是可判断O′D为△ACO的中位线，则O′D∥OC，得到∠AO′D=∠AOC=α，然后根据弧长公式得到

AC

的弧长=2

AD

的弧长；再证明O′E为△ACO的中位线得到OE=CE，则DE∥OA，于是可判断四边形O′DEO为平行四边形，然后利用OO′=OE判断四边形O′DEO是菱形．

解答：解：连结O′D，如图，
∵AB是半圆O的直径，OA为半圆O′的直径，
∴OA=2O′A，
∵O′E∥AC，
∴△OO′E∽△OAC，
∴

S△O′OC

S△AOC

=（

OO′

OA

）²=（

1

2

）²=

1

4

，所以①错误；
连结OD，
∵OA为半圆O′的直径，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∴AD=CD，所以②正确；
∴O′D为△ACO的中位线，
∴O′D∥OC，
∴∠AO′D=∠AOC=α，
∴

AD

的弧长=

α•π•O′A

180

AC

的弧长=

α•π•OA

180

=

α•π•2O′A

180

，
∴

AC

的弧长=2

AD

的弧长，所以③正确；
∵O′E∥AC，点O′为OA的中点，
∴O′E为△ACO的中位线，
∴OE=CE，
∴DE∥OA，
∴四边形O′DEO为平行四边形，
而OO′=OE，
∴四边形O′DEO是菱形．所以④正确．
故选C．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和菱形的判定；会运用相似三角形的判定与性质进行几何计算；记住弧长公式和三角形中位线性质．