Question

如图，直线AB经过⊙0上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：BC²=BD•BE；
（2）若tan∠CED=

1

2

，⊙0的半径为3，求OA的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，连接OC．构建相似三角形△BCD∽△BEC，根据该相似三角形的对应边成比例得到

BC

BE

=

BD

BC

，则BC²=BD•BE；
（2）利用正切三角函数的定义、（1）中的相似三角形的对应边成比例求得

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．设BD=x（x＞0）．BC=2x．又BC²=BD•BE，则易求x=2，所以根据图中相关线段间的和差关系来求OA的长度．

解答：（1）证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴OC是⊙O的切线．
∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

BD

BC

，
∴BC²=BD•BE；

（2）∵tan∠CED=

1

2

，
∴

CD

EC

=

1

2

．
由（1）知，△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．
设BD=x（x＞0），则BC=2x．又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x（x+6），
解得x=0（不合题意，舍去），或x=2．
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5，即OA的长度是5．

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．