Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以为边在轴下方作正方形，点是线段与正方形的外接圆的交点，连接与相交于点．

(1)求证：；

(2)若，试求经过、、三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，若直线向上平移t个单位与新图象有两个公共点，试求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）本题可通过全等三角形来证简单的线段相等，△ABF和△ADO中，根据圆周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一组直角和AB=AD，因此两三角形全等，即可得出BF=OD的结论；

（2）根据已知可得AO=m，BO=，AB=m，因为∠DAB=，可得BD是圆的直径，再证明△BEO≌△BED，得BD=BO=，且BD=AB，列等式可求出m值，因为△ABF≌△ADO，可求得F点的坐标，抛物线l经过A、B点，设解析式为y=ax(x)，将F点坐标代入解析式即可求解．

（3）当直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图象知，在平移前直线BE与新图象有1个公共点，平移到经过点O时与新图象有3个公共点，并且0<t<OG，利用已知条件求出OG的长即可求出t的取值范围；当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，设相切时直线BE的解析式为，求出方程组的解，进而求出t的取值范围．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=

在△ABF和△ADO中

∴△ABF≌△ADO(ASA)，

∴BF=DO

(2)∵A(m,0)，B(,0)，

∴AO=m，BO=，AB=m，

∵，

∴∠EBO=∠EBD，

∵∠DAB=，

∴BD为直径

∴∠BEO=∠BED=，

又∵BE=BE，

∴△BEO≌△BED，

∴BD=BO=，

在Rt△BCD中BD=AB，

∴=(m)，

∴m=-2

∵△ABF≌△ADO，

∴AF=AO=m=-2，

∴F点的坐标为(-2,2)，

∵抛物线C经过O(0,0)，B(,0)，

设C的解析式为y=ax(x)，

将F(-2,2)代入得：a=，

∴抛物线l的解析式为

故答案为：

(3) ①如图，设直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图象知，在平移前直线BE与新图象有1个公共点，平移到经过点O时与新图象有3个公共点．

∴0＜t＜OG，

设直线BE的解析式为y=kx+m，将B(,0)，F(-2,2)代入y=kx+m

得

解得

∴

当x=0时，y=span>，

∴OG=，此时t的取值范围是：0＜t＜

②如图，当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，抛物线沿x轴折叠后的解析式变为：，设相切时直线BE的解析式为

有一个解，

于是方程有两个相等的实数根，
即△=1-4××b=0，解得b=

此时直线BE的解析式为

直线BE与y轴的交点为(0,)，

∴OG=+()=

∴此时t的取值范围是：t＞

综上所述：t的取值范围为：0＜t＜或t＞

故答案为：0＜t＜或t＞