题目内容
【题目】(1)问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE和AF数量关系_____．
(2)类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α(0°＜α≤360°)，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
(3)解决问题：若BC＝DF＝2，在(2)的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．
【答案】(1)BE＝AF；(2)成立；(3)AE的最大值为3．
【解析】
(1)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出AD＝BD，DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，证明△BDE≌△ADF，即可得出结论；
(2)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出AD＝BD，DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，证明△BDE≌△ADF，即可得出结论；注意两种情况讨论；
(3)当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE，求出DE的长，即可得出结果．
解：(1)∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，
∵四边形DFGE是正方形，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF＝90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴BE＝AF
故答案为：BE＝AF；
(2)成立；理由如下：
当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，
∵四边形DFGE为正方形，
∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠ADF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴BE＝AF；
当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：
∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴BE＝AF；
综上所述，(1)中的结论BE＝AF成立；
(3)在△ADE中，∵AE＜AD+DE，
∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：
则AD＝
BC＝1，DE＝DF＝2，
∴AE＝AD+DE＝3，
即AE的最大值为3．
名校课堂系列答案
【题目】经过实验获得两个变量 x(x 0), y( y 0) 的一组对应值如下表。
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 7 | 3.5 | 2.33 | 1.75 | 1.4 | 1.17 | 1 |
（1）在网格中建立平面直角坐标系，画出相应的函数图象，求出这个函数表达式；
（2）结合函数图象解决问题：（结果保留一位小数）
①
的值约为多少？
②点A坐标为（6,0），点B在函数图象上，OA=OB,则点B的横坐标约是多少？
