Question

（2011•河东区二模）如图，菱形OABC中，∠A=120°，OA=1，将菱形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是

2

3

π-

3

2

．

Answer 1

分析：连接OB、OB′，阴影部分的面积等于扇形BOB′的面积减去两个△OCB的面积和扇形OCA′的面积．根据旋转角的度数可知：∠BOB′=90°，已知了∠A=120°，那么∠BOC=∠A′OB′=30°，可求得扇形A′OC的圆心角为30°，进而可根据各图形的面积计算公式求出阴影部分的面积．

解答：解：连接OB、OB′，过点A作AN⊥BO于点N，
菱形OABC中，∠A=120°，OA=1，
∴∠AOC=60°，∠COA′=30°，
∴AN=

1

2

，
∴NO=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴BO=

3

，
∴S_△CBO=S_△C′B′O=

1

2

×

1

2

AO•2CO•sin60°=

3

4

，
S_扇形OCA′=

30π×1

360

=

π

12

，
S_扇形OBB′=

90π( 3 )2

360

=

3π

4

；
∴阴影部分的面积=

3π

4

-（2×

3

4

+

π

12

）=

2

3

π-

3

2

．
故答案为：

2

3

π-

3

2

．

点评：此题考查了菱形的性质、扇形的面积公式、等边三角形的性质等知识点．利用已知得出S_扇形OBB′的面积以及S_△CBO，S_△C′B′O的面积是解题关键．