Question

如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC⊥AD于F，交⊙O于点E，BE交AD与G，∠BED=∠C．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）求证：2DE²=AD•AG；
（3）若OA=6，AC=8，求cos∠D的值．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理得BAD=∠DEB，而∠BED=∠C，则∠C=∠BAD，由于∠CFA=90°，即∠C+∠CAF=90°，所以∠BAD+∠CAF=90°，即AB⊥AC，
然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连结AE，根据垂径定理得AF=DF，弧DE=弧AE，再根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠BEA=90°，根据相似三角形的判定易得△AEF∽△AGE，则
AE²=AF•AG，然后把AF=

1

2

AD，AE=DE代入即可得到结论；
（3）先根据勾股定理计算出OC=10，再利用面积法计算出AF=

24

5

，然后再在Rt△OAF中，利用勾股定计算出OF=

18

5

，则EF=OE-OF=

12

5

，再在Rt△AFE中，用勾股定理计算AE=

12 5

5

，于是可根据余弦的定义得到cos∠EAF=

2 5

5

，则利用∠D=∠EAD求解．

解答：（1）证明：∵∠BAD=∠DEB，
而∠BED=∠C，
∴∠C=∠BAD，
∵OC⊥AD，
∴∠CFA=90°，即∠C+∠CAF=90°，
∴∠BAD+∠CAF=90°，即∠CAB=90°，
∴AB⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）连结AE，如图，
∵OC⊥AD，
∴AF=DF，弧DE=弧AE，
∴DE=AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA=90°，
而∠EAF=∠GAE，
∴△AEF∽△AGE，
∴

AE

AG

=

AF

AE

，即AE²=AF•AG，
∴DE²=

1

2

AD•AG，
即2DE²=AD•AG；
（3）解：在Rt△ABC中，OC=

AC2+OA2

=10，
∵

1

2

AF•OC=

1

2

AC•AO，
∴AF=

AC•OA

OC

=

24

5

，
在Rt△OAF中，OF=

OA2-AF2

=

18

5

，
∴EF=OE-OF=6-

18

5

=

12

5

，
在Rt△AFE中，AE=

AF2+EF2

=

12 5

5

，
∴cos∠EAF=

AF

AE

=

2 5

5

，
而∠D=∠EAD，
∴cos∠D=

2 5

5

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和三角形相似的判定与性质．