Question

如图所示，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，以AB为直径的⊙O与CD相切于P，若AD=m，BC=n，CD=a．求证：
（1）PC、PD是关于x的方程：x²-ax+mn=0的两根；
（2）a²=4mn．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）首先利用切线的判定得出，△PAD∽△BPC进而求出PD•PC=m•n，即可得出答案；
（2）利用CD=PD+PC，PD=PC，CD=a，即可得出PC=

a

2

，则PC²=

a2

4

，进而利用PC²=PC•PD，PD•PC=m•n，求出即可．

解答：证明：（1）连结OP．∵CD切⊙O于P，∴OP⊥CD，
∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴AD∥OP∥BC．
又∵OA=OB，∴PC=PD，
∵CD=a，∴PC+PD=CD=a，
连结PA、PB，∵AB是⊙O 的直径，∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°，
∵∠D=90°，∴∠APD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠BPC，
又∵∠D=∠C=90°，∴△PAD∽△BPC，
∴

PD

BC

=

AD

PC

，∴PD•PC=AD•BC．
∵AD=m，BC=n，∴PD•PC=m•n，
故PC、PD是关于x的方程x²-ax+mn=0的两根．

（2）∵CD=PD+PC，PD=PC，CD=a，
∴PC=

a

2

，∴PC²=

a2

4

，
又PC²=PC•PD，PD•PC=m•n，
∴

a2

4

=mn，∴a²=4mn．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及一元二次方程和相似三角形的判定与性质等知识，通过本题加深了这些知识的联系和沟通，提高了应用能力．