题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），二次函数y=x²的图象记为抛物线l₁．

（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过A、B两点，记为抛物线l₂，求抛物线l₂的函数表达式；
（2）设抛物线l₂的顶点为C，请你判断y轴上是否存在点K，使得∠BKC=90°，若存在，求出K点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线l₂与y轴交于点D，点P是线段BD上的一个动点，过点P，作y轴的平行线，交抛物线l₂于点E，求线段PE长度的最大值．

解：（1）∵抛物线l₂经过A（-1，0），B（3，0）
∴设抛物线l₂的解析式为：y=a（x+1）（x-3）
∵抛物线l₂是由y=x²平移得到，
∴a=1
∴抛物线l₂的函数表达式：y=x²-2x-3

（2）存在点K
∵抛物线l₂的函数表达式：y=x²-2x-3，
∴y=（x-1）²-4，
∴抛物线l₂的顶点坐标为（1，-4）
过点C作CG垂直于y轴，垂足为G

若∠OKB+∠GKC=90°
则∠BKC=90°，∠OBK=∠GKC
∴△OKB∽△GCK，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
解之得：OK=1，或OK=3
∴点K坐标为（0，-1）或（0，-3）

（3）抛物线l₂与y轴交于点D，抛物线l₂的函数表达式：y=x²-2x-3
∴点D坐标为（0，-3），
∴设直线BD的解析式为：y=kx+b
将B（3，0），D（0，-3）代入y=kx+b
得： $\text{[math]}$
∴解之得： $\text{[math]}$ ；
∴解析式为：y=x-3…
∵点P是线段BD上的一个动点，
∴点P坐标为（x，x-3）
∵PE平行于y轴，且点E在抛物线l₂上，
∴点E坐标为（x，x²-2x-3）
线段PE的长度为|x²-2x-3|-|x-3|
则PE=-x²+3x= $\text{[math]}$
∴线段PE长度的最大值 $\text{[math]}$ …
分析：（1）由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向，在平移过程中，抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为1，已知了平移后的抛物线经过x轴上的A、B两点，即可由交点式表示出平移后的抛物线解析式；
（2）假设存在这样的K点，过C作CG⊥y轴于G，若∠BGC=90°，可证得△OKB∽△GCK，通过相似三角形得到的比例线段即可求出OK的长，也就能得到K点的坐标；
（3）易求得直线BD的解析式，可设出P点的横坐标，根据直线BD和抛物线l₂的解析式，可表示出P、E的纵坐标，进而可表示出PE的长，由此可得到关于PE的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求得PE的最大值．
点评：此题考查了二次函数图象的平移、相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用等知识，能够将线段PE的长转换为二次函数求最值的问题是解答（3）题的关键．