Question

【题目】如图，在半径为的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，，下列四个结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是（ ）

A.①③B.②④C.②③④D.①③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据圆周角定理得到∠BOD=60°，根据点D是劣弧AB的中点，得到∠AOD=∠BOD=60°，求得∠AOB=120°，故①错误；根据垂径定理得到OD⊥AB，解直角三角形得到AB=3，故②正确；根据等腰三角形的性质得到∠OBA=30°，求得sin∠ABO=，故③错误；设OD与AB交于E，根据直角三角形的性质得到OE=OA=OD，求得四边形ADBO是菱形，故④正确．

∵∠C=30°，

∴∠BOD=60°，
∵点D是劣弧AB的中点，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠AOB=120°，故①错误；
∵点D是劣弧AB的中点，
∴OD⊥AB，
∵OA=3，∠OAB=30°，
∴AB=3，故②正确；
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OBA=30°，
∴sin∠ABO=，故③错误；
设OD与AB交于E，
∵∠AEO=90°，∠OAB=30°，
∴OE=OA=OD，
∵AE=BE，OD⊥AB，
∴四边形ADBO是菱形，故④正确，
故选：B．