Question

如图，AB为⊙O的直径，

AC

=

BC

，D为⊙O的弦AB上一点，延长DA到E，使AE=BD．
（1）求证：∠E=45°；
（2）若BD=

5

，AD=1，求四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据∠

AC

=

BC

，得出∠ADC=∠BDC=45°，AC=BC，再证明△EAC≌△DBC，即可得出∠E=∠BDC=45°，
（2）根据BD=

5

，AD=1，求出S_△ADB=

1

2

AD•BD=

1

2

5

，AB²=BD²+AD²=6，根据AB为⊙O的直径，求出∠ACB=90°，AC²+BC²=AB²=6，再根据AC=BC，求出AC²=3，再求出S_△ACB=

1

2

AC²=

3

2

，最后根据四边形ACBD的面积=S_△ADB+S_△ACB=代入计算即可．

解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠

AC

=

BC

，
∴∠ADC=∠BDC=45°，AC=BC，
在△EAC和△DBC中，

AE=BD ∠EAC=∠DBC AC=BC

，
∴△EAC≌△DBC（SAS），
∴∠E=∠BDC=45°；

（2）∵BD=

5

，AD=1，
∴S_△ADB=

1

2

AD•BD=

1

2

×1×

5

=

1

2

5

，
AB²=BD²+AD²=5+1=6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²=6，
∵AC=BC，
∴AC²=3，
∴S_△ACB=

1

2

AC²=

3

2

，
∴四边形ACBD的面积=S_△ADB+S_△ACB=

1

2

5

+

3

2

．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、圆的有关性质、勾股定理、三角形的面积公式，关键是证出△EAC≌△DBC．