Question

12．如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB=45°，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于点G、H．若⊙O的半径为2，则GE+FH的最大值为4-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 接OA，OB，根据圆周角定理可得出∠AOB=90°，故△AOB是等腰直角三角形．由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$为定值，则GE+FH=GH-EF=GH-$\sqrt{2}$，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值，问题得解．

解答 解：连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°．
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴GE+FH=GH-EF=4-$\sqrt{2}$，
故答案为：4-$\sqrt{2}$．

点评 本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．