Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，连接GE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若tan∠G=$\frac{4}{3}$，BE=4，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，根据AD是角平分线，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切线；
（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可；
（3）设FG与AE的交点为M，连结AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题．

解答 （1）证明：连结OD，
∵DE⊥AD，
∴AE是⊙O的直径，即O在AE上，
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AC，
∴∠4=∠EAF，
∵∠G=∠EAF，
∴∠4=∠G，
∴tan∠4=tan∠G=$\frac{4}{3}$，
设BD=4k，则OD=OE=3k，
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）²+（4k）²=（3k+4）²，
解得，k₁=2，k₂=$-\frac{1}{2}$（舍），（注：也可由OB=5k=3k+4得k=2），
∴3k=6，即⊙O的半径为6；


（3）解：连结AG，则∠AGE=90°，∠EGM=∠5．
∴tan∠5=tan∠EGM=$\frac{4}{3}$，
即$\frac{GM}{AM}=\frac{EM}{GM}=\frac{4}{3}$，$\frac{AM}{GM}=\frac{GM}{EM}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AM}{EM}=\frac{AM}{GM}•\frac{GM}{EM}=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$，
∴AM=$\frac{9}{25}$AE=$\frac{9}{25}×12$=$\frac{108}{25}$，
∵OD∥AC，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}$，$\frac{CD}{AO}=\frac{DB}{OB}$，
即$\frac{6}{AC}=\frac{5}{8}$，$\frac{CD}{6}=\frac{8}{10}$．
∴AC=$\frac{48}{5}$，CD=$\frac{24}{5}$，
∵∠1=∠2，∠ACD=∠AMP=90°，
∴△ACD∽△AMP．
∴$\frac{PM}{AM}=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴PM=$\frac{1}{2}AM$=$\frac{54}{25}$．
∴AP=$\sqrt{P{M^2}+A{M^2}}$=$\frac{54}{25}\sqrt{5}$．

点评 本题考查了圆的综合题，涉及切线的判定、勾股定理、相似三角形、特殊角的三角函数值，正确的作出辅助线是解题的关键．