Question

【题目】如图1，点O在线段AB上，AO＝4，OB＝2，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做运动，设运动时间为t秒．

（1）当t＝1秒时，则OP＝　 　，S△ABP＝　 　；

（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，当AP＝AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求AQBP的值．为了求AQBP的值，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E，试利用小华同学给我们的启发补全图形并求AQBP的值．

Answer 1

【答案】（1）2，3 ；（2）当△ABP是直角三角形时，t＝2或t＝；（3）补全图形见解析，AQPB＝12．

【解析】

（1）作PD⊥AB于点D，利用三角函数求解；

（2）当△ABP是直角三角形时，分∠A＝90°、∠B＝90°、∠APB＝90°，画出对应图形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求解；

（3）过点O作OE∥AP，交PB于点E，构造一对相似三角形，即△OAQ∽△PEO，利用对应边成比例求解.

（1）当t＝1秒时，OP＝2t＝2×1＝2．

如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．

在Rt△POD中，PD＝OPsin60°＝2×＝，

∴S△ABP＝ABPD＝×（4+2）×＝3．

故答案为：2，3．

（2）当△ABP是直角三角形时，

①若∠A＝90°．

∵∠BOC＝60°且∠BOC＞∠A，

∴∠A≠90°，故此种情形不存在；

②若∠B＝90°，如答图2所示：

∵∠BOC＝60°，

∴∠BPO＝30°，

∴OP＝2OB＝4，又OP＝2t，

∴t＝2；

③若∠APB＝90°，如答图3所示：

过点P作PD⊥AB于点D，则OD＝OPsin30°＝t，PD＝OPsin60°＝t，

∴AD＝OA+OD＝4+t，BD＝OB-OD＝2-t．

在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2＝AB2

∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）＝AB2，

即[（4+t）2+（t）2]+[（2-t）2+（t）2]＝62，

解方程得：t＝或t＝（负值舍去），

∴t＝．

综上所述，当△ABP是直角三角形时，t＝2或t＝．

（3）如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，

则有＝，

∴PE＝PB．

∵AP＝AB，

∴∠APB＝∠B，

∵OE∥AP，

∴∠OEB＝∠APB，

∴∠OEB＝∠B，

∴OE＝OB＝2，∠3+∠B＝180°．

∵AQ∥PB，

∴∠OAQ+∠B＝180°，

∴∠OAQ＝∠3；

∵∠AOP＝∠1+∠QOP＝∠2+∠B，∠QOP＝∠B，

∴∠1＝∠2；

∴△OAQ∽△PEO，

∴＝，即，

化简得：AQPB＝12．