题目内容
（2012•辽阳）如图，抛物线y=ax2+bx-3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为| 10 |
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（1）求抛物线的表达式；
（2）直线y=
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（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=
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分析：（1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次函数的解析式．
（2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式．
（3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况：
①以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标；
②以OF为边，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出点M的坐标．
（2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式．
（3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况：
①以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标；
②以OF为边，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出点M的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3交y轴于点C
∴C（0，-3）则 OC=3；
∵P到x轴的距离为
，P到y轴的距离是1，且在第三象限，
∴P（-1，-
）；
∵C关于直线l的对称点为A
∴A（-2，-3）；
将点A（-2，-3），P（-1，-
）代入抛物线y=ax2+bx-3中，有：
，解得
∴抛物线的表达式为y=
x2+
x-3．
（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°
∵∠DEG=∠BEC
∴△DEG∽△BEC
∵DE：BE=4：1，
∴DG：BC=4：1；
已知BC=1，则DG=4，点D的横坐标为4；
将x=4代入y=
x2+
x-3中，得y=5，则 D（4，5）．
∵直线y=
x+m过点D（4，5）
∴5=
×4+m，则 m=2；
∴所求直线的表达式y=
x+2．
（3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF=2；
设点M（x，
x+2），则：OM2=
x2+3x+4、FM2=
x2；
（Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1；
∴
x+2=1，x=-
；即点M的坐标（-
，1）．
（Ⅱ）当OF为菱形的边时，有：
①FM=OF=2，则：
x2=4，x1=
、x2=-
代入y=
x+2中，得：y1=
、y2=
；
即点M的坐标（
，
）或（-
，
）；
②OM=OF=2，则：
x2+3x+4=4，x1=0（舍）、x2=-
代入y=
x+2中，得：y=
；
即点M的坐标（-
，
）；
综上，存在符合条件的点M，且坐标为（-
，1）、（
，
）、（-
，
）、（-
，
）．
∴C（0，-3）则 OC=3；
∵P到x轴的距离为
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∴P（-1，-
| 10 |
| 3 |
∵C关于直线l的对称点为A
∴A（-2，-3）；
将点A（-2，-3），P（-1，-
| 10 |
| 3 |
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∴抛物线的表达式为y=
| 1 |
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| 3 |
（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°∵∠DEG=∠BEC
∴△DEG∽△BEC
∵DE：BE=4：1，
∴DG：BC=4：1；
已知BC=1，则DG=4，点D的横坐标为4；
将x=4代入y=
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| 3 |
∵直线y=
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| 4 |
∴5=
| 3 |
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∴所求直线的表达式y=
| 3 |
| 4 |
（3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF=2；
设点M（x，
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（Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1；
∴
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（Ⅱ）当OF为菱形的边时，有：
①FM=OF=2，则：
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| 5 |
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代入y=
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即点M的坐标（
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②OM=OF=2，则：
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代入y=
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即点M的坐标（-
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综上，存在符合条件的点M，且坐标为（-
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点评：此题主要考查的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等．最后一题容易漏解，一定要根据菱形顶点排列顺序的不同进行分类讨论．
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