Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD的边BC上一点，点M在BC的延长线上，若AP=PE且∠APE为直角．求证：CE平分∠DCM．

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】

过点E作EF⊥BM于F，根据同角的余角相等可得∠APB＝∠PEF，然后利用AAS证明△ABP≌△PFE，根据全等三角形的性质和正方形的性质求出BP=CF，得到∠ECF＝45°即可证明结论.

证明：过点E作EF⊥BM于F，则∠PFE＝90°，

∴∠EPF＋∠PEF＝90°，

∵∠APE＝90°，

∴∠APB＋∠EPF＝90°，

∴∠APB＝∠PEF，

在△ABP和△PFE中，，

∴△ABP≌△PFE（AAS），

∴AB=PF，BP=FE，

∵在正方形ABCD中，AB=BC，

∴BC=PF，

∴BP=CF，

∴CF=FE，即△ECF是等腰直角三角形，

∴∠ECF＝45°，

∵∠DCF＝90°，

∴CE平分∠DCM．