Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＜0）．
⑴求b的值．
⑵求x₁•x₂的值
⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer 1

解：⑴b=1
⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4

⑶△M₁FN₁是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M₁的横坐标为x₁，N₁的横坐标为x₂，设M₁N₁交y轴于F₁，
则F₁M₁•F₁N₁=－x₁•x₂=4，而F F₁=2，所以F₁M₁•F₁N₁=F₁F²，
另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，易证Rt△M₁FF₁∽Rt△N₁FF₁，得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，
故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁＋∠F₁FN₁=∠FN₁F₁＋∠F₁FN₁=90°，所以△M₁FN₁是直角三角形．
⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：
直线y=－1即为直线M₁N_1．
如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN₁=， NF=，得NN₁=NF
同理MM₁=MF．
那么MN=MM₁＋NN₁，作梯形MM₁N₁N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM₁＋NN₁）=MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．解析:
此题第（1）问，很简单就是代入求值，确定函数的系数。
（2）结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程，利用“根与系数”的关系求解。
（3）直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。
（4）用函数的加减来求距离，梯形中位线。此题综合性很强，考查学生数形结合的思想，综合了代数、几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。