如图.在平面直角坐标系中.点A.以OA为直径在第一象限内作半圆C.点B是该半圆周上的一动点.连接OB.AB.并延长AB至点D.使DB=AB.过点D作x轴垂线.分别交x轴.直线OB于点E.F.点E为垂足.连接CF． (l)当∠AOB=30°时.求弧AB的长, (2)当DE=8时.求线段EF的长, (3)在点B运动过程中.是否存在以点E.C.F为顶点的三角形与△AOB相似.若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A(10,0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
(l)当∠AOB=30°时，求弧AB的长；
(2)当DE=8时，求线段EF的长；
(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，清求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)连接BC，A( 10 ,0) ,
∴ OA= 10 , CA= 5 ,AOB= 30°，
∴∠ACB=2∠AOB= 60°，
∴ 弧 AB 的长=
(2)连接 OD. OA是OC直径.
∴OBA= 90°，又AB=BD，
∴OB是AD 的垂直平分线.
∴OD= OA = 10，
在 Rt△ODE中，
∴AE=AO-OE= 10-6 =4，
由∠AOB = ∠ADE = 90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得：△OEF∽△DEA.,

(3)设OE=x，
①当交点E在0，C之间时.由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB 相似.
有∠ECF =∠BOA 或∠ECF=∠OAB，
当∠ECF=∠BOA时.此时△OCF为等腰三角形.点 E为 OC中点，
即∴E1 (.0)；
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x，
∴CF∥AB. 有 CF= AB,△ECF∽△EAD，
，解得
∴ E2(，0)
②当交点 E在点C 的右侧时.    ∠ECF>∠BOA，
∴ 要使△ECF与△BAO相似.只能使∠ECF= ∠BAO,
连接 BE.     BE为 Rt ADE斜边上的中线，
∴BE= AB =BD，    ∠BEA= ∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF.
∴CF∥BE.     ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA= 90°，
∴△CEF∽△AED，

而AD=2BE，
③当交点 E在点0 的左侧时.    ∠BOA= ∠EOF>∠EGF.
∴要使△ECF与△BAO相似.只能使∠ECF=∠BAO
连接 BE，得：BE =AD=AB,∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA，
∴CF∥BF.
又∠ECF = ∠BAO，∠FEC = ∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
而AD=2BE,
解得
点 E在x 轴负半轴上
综上所述：存在以点 E：C、F为顶点的三角形与△AOB相似.
此时点 E坐标为：.