Question

11．如图，在平面直角坐标系中，如图所示，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC、AD．
（1）求证：OC=AD；
（2）求OC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质，可得OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，根据旋转的性质，可得∠OBC=∠ABD，根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）根据旋转的性质，可得BO=BC，∠DBC=∠BCD=60°，根据等腰三角形的性质，可得∠OCB的度数，根据勾股定理，可得答案．

解答 （1）证明：∵△AOB是边长为2的等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，
又△DCB是由△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到的，
∴△DCB也是边长为2的等边三角形，
∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，
又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC=AD；
（2）解：∵△AOB与△BCD是边长为2的等边三角形，
∴BO=BC，∠DBC=∠BCD=60°，
∴∠BOC=∠BCO=30°，
∴∠OCD=90°．
∵OD=4，CD=2，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理，得
OC=$\sqrt{O{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，利用旋转得出∠OBC=∠ABD是解题关键，又利用了全等三角形的判定与性质．