Question

如图，在?ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF=BF，
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE=BC，S_△BFG=5，CD=4，求CG．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）求出∠BAE=90°，根据矩形的判定推出即可；
（2）求出△BGE面积，根据三角形面积公式求出BG，得出EG长度，根据勾股定理求出GH，求出BE，得出BC长度，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵F为BE中点，AF=BF，
∴AF=BF=EF，
∴∠BAF=∠ABF，∠FAE=∠AEF，
在△ABE中，∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠AEF=180°，
∴∠BAF+∠FAE=90°，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形；


（2）解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵F为BE的中点，FG⊥BE，
∴BG=GE，
∵S_△BFG=5，CD=4，
∴S_△BGE=10=

1

2

BG•EH，
∴BG=GE=5，
在Rt△EGH中，GH=

GE2-EH2

=3，
在Rt△BEH中，BE=

BH2+GH2

=4

5

=BC，
∴CG=BC-BG=4

5

-5．

点评：本题考查了矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，有一定的难度．