Question

【题目】已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC﹣CB﹣BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．

（1）求出该反比例函数解析式；

（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标；

（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s，并指出相应t的取值．

Answer 1

【答案】（1）y=；

（2）Q1（，4）；Q2（4，），Q3（4，）；

（3）s1=8t（0＜t≤1）；s2=﹣2t2+2t+8（1≤t≤2）；s3=﹣10t+24（2≤t≤）．

【解析】

试题（1）根据正方形ABCD的边长为4，可得C的坐标为（4，4），再用待定系数法求出反比例函数解析式；

（2）分点Q在CD，BC，AB边上，根据全等三角形的判定和性质求得点Q的坐标；

（3）分点Q在CD，BC，AB边上，由三角形面积公式和组合图形的面积计算即可求解．

试题解析：解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，

∴C的坐标为（4，4），

设反比例解析式为y=，

将C的坐标代入解析式得：k=16，则反比例解析式为y=；

（2）当Q在DC上时，如图所示：

此时△APD≌△CQB，

∴AP=CQ，即t=4﹣4t，解得t=，

则DQ=4t=，即Q1（，4）；

当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：

若Q在上边，则△QCD≌△PAD，

∴AP=QC，即4t﹣4=t，解得t=，

则QB=8﹣4t=，此时Q2（4，）；

若Q在下边，则△APD≌△BQA，

则AP=BQ，即8﹣4t=t，解得t=，

则QB=，即Q3（4，）；

当Q在AB边上时，如图所示：

此时△APD≌△QBC，

∴AP=BQ，即4t﹣8=t，解得t=，

因为0≤t≤，所以舍去．

综上所述Q1（，4）； Q2（4，），Q3（4，）；

（3）当0＜t≤1时，Q在DC上，DQ=4t，则s=×4t×4=8t；

当1≤t≤2时，Q在BC上，则BP=4﹣t，CQ=4t﹣4，AP=t，

则s=S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=16﹣APAD﹣PBBQ﹣DCCQ=16﹣t×4﹣（4﹣t）[4﹣（4t﹣4）]﹣×4（4t﹣4）═﹣2t2+2t+8；

当2≤t≤时，Q在AB上，PQ=12﹣5t，则s=×4×（12﹣5t），即s=﹣10t+24．

总之，s1=8t（0＜t≤1）；

s2=﹣2t2+2t+8（1≤t≤2）；

s3=﹣10t+24（2≤t≤）．