Question

如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数，m＞1，n＞0．

(1)请你确定n的值和点B的坐标；

(2)当动点P是经过点O，C的抛物线y＝ax²＋bx＋c的顶点，且在双曲线y＝上时，求这时四边形OABC的面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)从图中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S＝mz，z由0逐步增大到2，则S由0逐步增大到m，故OA＝2，n＝2　　(1分) 　　同理，AB＝1，故点B的坐标是(1，2)　　(2分) 　　(2)解法一： 　　∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m，0)，∴c＝0，b＝－am，(3分) 　　∴抛物线为y＝ax－amx，顶点坐标为(，－am2)　　(4分) 　　如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l 　　当P在OA上运动时，O，P都在y轴上，这时P，O，C三点不可能同在一条抛物线上， 　　∴这时抛物线l不存在，故不存在m的值　　① 　　当点P与C重合时，双曲线y＝不可能经过P， 　　故也不存在m的值　　②　　(5分) 　　(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分) 　　当P在AB上运动时，即当0＜x≤1时，y＝2， 　　抛物线l的顶点为P(，2)． 　　∵P在双曲线y＝上，可得m＝，∵＞2，与x＝≤1不合，舍去．(6分)　　③ 　　容易求得直线BC的解析式是：，(7分) 　　当P在BC上运动，设P的坐标为(x，y)，当P是顶点时x＝， 　　故得y＝＝，顶点P为(，)， 　　∵1＜x＝＜m，∴m＞2，又∵P在双曲线y＝上， 　　于是，×＝，化简后得5m－22m＋22＝0， 　　解得，，(8分) 　　 　　与题意2＜x＝＜m不合，舍去．④　　(9分) 　　故由①②③④，满足条件的只有一个值：． 　　这时四边形OABC的面积＝＝　　(10分) 　　(2)解法二： 　　∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m，0) 　　∴c＝0，b＝－am，(3分) 　　∴抛物线为y＝ax－amx，顶点坐标P为(，－am2)　　(4分) 　　∵m＞1，∴＞0，且≠m， 　　∴P不在边OA上且不与C重合　　(5分) 　　∵P在双曲线y＝上，∴×(－am2)＝即a＝－ 　　①当1＜m≤2时，＜≤1，如图2，分别过B，P作x轴的垂线， 　　M，N为垂足，此时点P在线段AB上，且纵坐标为2， 　　∴－am2＝2，即a＝－ 　　而a＝－，∴－＝－，m＝＞2，而1＜m≤2，不合题意，舍去　　(6分) 　　②当m≥2时，＞1，如图3，分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足，ON＞OM， 　　此时点P在线段CB上，易证Rt△BMC∽Rt△PNC， 　　∴BM∶PN＝MC∶NC，即：2∶PN＝(m－1)∶，∴PN＝　　(7分) 　　而P的纵坐标为－am2，∴＝－am2，即a＝ 　　而a＝－，∴－＝ 　　化简得：5m2－22m＋22＝0解得：m＝，(8分) 　　但m≥2，所以m＝舍去，(9分) 　　取m＝ 　　由以上，这时四边形OABC的面积为： 　　(AB＋OC)×OA＝(1＋m)×2＝　　(10分)