题目内容

（2012•太原一模）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH，使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．
（1）判断并说明BH和AF的数量关系；
（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转θ（0°≤θ≤360°），设AB=a，EH=b，且a＜2b．
①如图2，连接AG，设AG=x，请直接写出x的取值范围；当x取最大值时，直接写出θ的值；
②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形，并求a与b的数量关系．
分析：（1）根据正方形的对角线互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“边角边”证明△BEH和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①连接EG，根据正方形的性质求出AE、EG，再根据三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边可知A、E、G三点共线，且AE+AG=EG时，AG最小，AE+EG=AG时，AG最大，然后求解即可；
②根据平行四边形的对边平行且相等可得AH∥BD，AH=BD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EAH=90°，再根据正方形的性质求出AE、BD，然后在Rt△AEH中，利用勾股定理列式整理即可得解．
解答：解：（1）在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∵在△BEH和△AEF中，
AE=BE
∠BEH=∠AEF=90°
EF=EH
，
∴△BEH≌△AEF（SAS），
∴BH=AF；

（2）①连接EG，
∵AB=a，EH=b，
∴AE=
1
2
AC=
2
2
a，EG=
2
b，
根据三角形的三边关系，AG＞EG-AE，AG＜AE+EG，
∴当AG=EG-AE时，AG最小，AG=AE+EG时，AG最大，
2
b-
2
2
a≤x≤
2
b+
2
2
a；
x取得最大值时，θ=135°；
②如图，∵四边形ABDH是平行四边形，
∴AH∥BD，AH=BD，
∴∠EAH=∠AEB=90°，
在Rt△AEH中，AE2+AH2=EH2，
∴（
2
2
a）2+（
2
a）2=b2，
整理得，a=
10
5
b．
点评：本题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，旋转的性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）①考虑用不变的量表示变化的量是解题的关键．
练习册系列答案
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1
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3或5
3或5
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