Question

（2013•海宁市模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，AE平分∠CAB，交BC于点E，D为AB上一点，以AD直径的⊙O经过点E．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AC与OE平行，利用两直线平行同位角相等得到∠OEB=∠C，都为直角，可得出BC垂直于OE，即可得到BC与圆O相切；
（2）设OA=OE=x，在直角三角形ABC中，由BC与AC的长，利用勾股定理求出AB的长，由AB-OA表示出OB，由OE与AC平行，得到三角形OEB与三角形ACB相似，由相似得比例，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到圆O的半径长．

解答：（1）证明：连结OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
又∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE=∠CAE，
∴∠OEA=∠CAE，
∴OE∥AC，
又∵∠ACB=90°，
∴∠OEB=∠ACB=90°，
∴BC与⊙O相切；

（2）解：设OA=OE=x，
∵∠ACB=90°，BC=12，AC=9，
∴AB=

AC2+BC2

=

92+122

=15，
∴OB=15-x，
又∵∠OEB=∠ACB，∠B=∠B，
∴△BOE∽△BAC，
∴

OE

OB

=

AC

AB

，即

x

15-x

=

9

15

，
解得：x=

45

8

，
则⊙O半径为

45

8

．

点评：此题考查了切线的判定，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．