题目内容

如图所示，一块四边形土地，其中∠ABD=120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB=30 $数学公式$ m，CD=50 $数学公式$ m，则这块土地的面积为________m²．

2400 $\text{[math]}$
分析：如图所示延长CA，DB交于点P，∵∠ABD=120°，∠ACD=60°，在Rt△CDP中，tan∠ACD= $\text{[math]}$ ，由此可以求PD．在Rt△PAB中，tan∠PBA= $\text{[math]}$ ，由此可以求出PA，而S_{四边形ABCD}=S_△CDP-S_△ABP，利用三角形的面积公式即可求出其面积，即这块土地的面积．
解答：

解：如图，延长CA，DB交于点P，
∵∠ABD=120°，∠ACD=60°，
在Rt△CDP中，tan∠ACD= $\text{[math]}$ ，
∴PD=CD•tan∠ACD=50 $\text{[math]}$ •tan60°=150（m）．
在Rt△PAB中，tan∠PBA= $\text{[math]}$ ，
∴PA=AB•tan∠PBA=30 $\text{[math]}$ •tan60°=90（m）．
∴S_{四边形ABCD}=S_△CDP-S_△ABP= $\text{[math]}$ ×50 $\text{[math]}$ ×150- $\text{[math]}$ ×30 $\text{[math]}$ ×90=2400 $\text{[math]}$ （m²）．
即这块土地的面积为2400 $\text{[math]}$ m²．
点评：解此题关键是构建直角三角形，把实际问题抽象到解直角三角形中进行解答．此外作辅助线构建三角形一定不能破坏特殊的角．