Question

8．如图，抛物线y=ax²+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（-2，0），B（-1，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A、B点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值；
（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{a+c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$；
∴抛物线的解析式为：y=x²-4；

（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD．
则BD与y轴的交点即为M点；
设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），则有：
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-3}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$；
∴直线BD的解析式为y=x-2，点M（0，-2）．

点评 此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等知识的综合应用能力．