Question

19、平面上有n个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n的最大值．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，然后根据条件所给任意三点要构成直角三角形进行判断假设即可．

解答：证明：如下图所示：

三个点ABC构成直角三角形，现在加一点D并使其满足题意，
①若ABD中斜边不是AB（如图一）则∠CBD为钝角，三角形CBD不为直角三角形，矛盾；
②故AB为三角形ABD斜边，即D在AB为直径的圆上，又ACD，BCD是直角三角形，所以只能CD是直径，
即n=4时满足．
③若存在异于D的第5点E满足题意，由①知E比在ABC确定的圆上，则CE不为直径，
∠CAE与∠CBE中必有一个角为钝角，矛盾．
综上n最大为4．

点评：本题考查学生的思维和动手能力，难度较大，关键是读懂题意，所给三点必须要构成直角三角形．