Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC＝∠CAD.

 （1）若∠ABC＝20°，则∠OCA的度数为    ；

（2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若OD⊥AB，BC＝5，AB＝8，求⊙O的半径．

 

Answer 1

解：（1）70°；…………2分．

（2）相切

理由如下：法一：连接OA，∠ABC＝∠AOC……3分．

在等腰△AOC中，∠OAC＝90°－∠AOC

∴∠OAC＝90°－∠ABC                            ……4分．

∵∠ABC＝∠CAD，

∴∠OAD＝∠OAC＋∠CAD＝90°－∠ABC＋∠ABC＝90°……5分．

即OA⊥AD，而点A在⊙O上，∴直线AD与⊙O相切．…………6分．

法二：连接OA，并延长AO与⊙O相交于点E，连接EC．

∵AE是⊙O的直径，∴∠ECA＝90°，…………3分．

∴∠EAC＋∠AEC＝90°．

又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，∴∠EAC＋∠CAD＝90°．……5分．

即OA⊥AD，而点A在⊙O上，∴直线AD与⊙O相切．…………6分．

（3）设OD与AB的交点为点G．

∵OD⊥AB，∴AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，在Rt△ACG中，可得GC＝3．…………7分．

在Rt△OGA中，设OA＝x，由OA²＝OG²＋AG²，得x²＝(x－3)²＋4²……9分．

解得x＝，即⊙O的半径为．                   …………10分．