Question

如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为点O，过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连接PO并延长与射线AE相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线BC的垂线，垂足为R．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，
①△AOB≌△COB；
②当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；
③当x=5时，四边形ABPQ是平行四边形；
④当x=0或x=10时，都有△PQR∽△CBO；
⑤当x=

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时，△PQR与△CBO一定相似．
正确的共有

 

．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：根据相似三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定方法结合图形分别进行分析证明即可得出答案．

解答：解：①∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，
∴AO=CO，
∵BO=BO，
在△AOB和△COB中，

AB=CB AO=CO BO=BO

∴△AOB≌△COB（SSS）；
故此选项正确；
②∵AE∥BC，
∴∠AQO=∠CPO，
∵AO=CO，∠AOQ=∠COP，
在△AOQ和△COP中

∠AQO=∠CPO ∠AOQ=∠COP AO=CO

∴△AOQ≌△COP（AAS）
∴当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；
故此选项正确；
③当x=5时，
∴BP=PC=5，
∵AQ=PC，
∴AQ=PB=5，
∵AQ∥BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形；
故此选项正确；
④如图1，当x=0时，P与B重合，

∴∠OBC=∠QPR，
又∵∠BOC=∠PRQ=90°，
∴△PQR∽△BCO；
如图2，当x=10时，P与C重合，此时Q与A重合，

∵∠QPR=∠BPO，∠QRP=∠BOC=90°，
∴△PQR∽△CBO，
当x=0时，△PQR∽△CBO不相符；故此选项错误；
⑤如图3，

若△PQR与△CBO一定相似，
则∠QPR=∠BCO，
可得OP=OC=6，
过点O作OH⊥BC于H，
由射影定理得CO²=CH•CB，
可求得CH=3.6，
故CP=7.2，所以BP=x=10-7.2=2.8
故当x=

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时，△PQR与△CBO一定相似．
故此选项正确．
故正确的有①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．

点评：此题主要考查了四边形综合题，涉信相似三角形的判定以及平行四边形的性质和全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用相关知识．