Question

在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：规律型

分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，证△DOA∽△ABA₁，得出

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，求出AB，BA₁，求出边长A₁C=

3

2

5

，求出面积即可；求出第2个正方形的边长；再求出第3个正方形边长；依此类推得出第2013个正方形的边长，求出面积即可．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∵AB=AD=

22+12

=

5

，
∴BA₁=

1

2

5

，
∴第2个正方形A₁B₁C₁C的边长A₁C=A₁B+BC=

1

2

5

+

5

=

3

2

5

，
同理第3个正方形的边长是

3 5

2

+

3 5

4

=

9 5

4

=（

3

2

）²

5

，
第4个正方形的边长是（

3

2

）³

5

，
第2013个正方形的边长是（

3

2

）²⁰¹²×

5

，面积是5×（

3

2

）^2×2012=5×（

3

2

）⁴⁰²⁴．
故答案为：5×（

3

2

）⁴⁰²⁴．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．