Question

19．如图，点A是反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB=2OA，连接AB，当点A在反比函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数图象y=$\frac{k}{x}$上移动，k的值为（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． 4
• D． -4

Answer 1

分析 过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，易得△AOC∽△OBD，由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S_△AOC：S_△BOD，继而求得答案．

解答 解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S_△AOC：S_△BOD=（$\frac{OA}{OB}$）²，
∵OB=2OA，
∴S_△AOC：S_△BOD=$\frac{1}{4}$，
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AC=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，S_△BOD=$\frac{1}{2}$OD•BD=$\frac{1}{2}$|k|，
∴k=-4，
故选D．

点评 此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及反比例函数的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．