题目内容
如图△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD、BE是高．（1）求AD，BE的长；
（2）点P是高AD的一动点，将线段CP绕点C逆时针旋转，使旋转角等于∠ABC，得到线段CF．
①线段AC上有一点M，使△CPM≌△CFD，求CM的长；
②当DF最短时，求AP的长；
③动点Q从点A出发，以5cm/s的速度在边AD上向点P运动，到达点P后，再以3cm/s速度向终点B运动，直接写出点Q运动时间的最小值．
考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理
专题：
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD=
BC，利用勾股定理列式求出AD，再利用△ABC的面积列出方程求解即可得到BE；
（2）①根据全等三角形对应边相等可得CM=CD；
②根据全等三角形对应边相等可得DF=PM，再根据垂线段最短可得PM⊥AD时PM最短，求出AM，再根据∠CAD的余弦列式计算即可求出AP；
③过点P作PN⊥AC于N，求出PN=
AP，然后判断出相当于点Q以3cm/s的速度从点N出发经点P到点B，再根据垂线段最短可知当BN⊥AC时，点Q的运动时间最小，然后根据时间=路程÷速度列式计算即可得解．
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（2）①根据全等三角形对应边相等可得CM=CD；
②根据全等三角形对应边相等可得DF=PM，再根据垂线段最短可得PM⊥AD时PM最短，求出AM，再根据∠CAD的余弦列式计算即可求出AP；
③过点P作PN⊥AC于N，求出PN=
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解答：解：（1）∵AB=AC，AD是高，
∴BD=CD=
BC=
×12=6cm，
由勾股定理得，AD=
=
=8cm，
S△ABC=
AC•BE=
BC•AD，
所以，
×10•BE=
×12•8，
解得BE=
cm；
（2）①∵△CPM≌△CFD，
∴CM=CD=6cm；
②∵△CPM≌△CFD，
∴DF=PM，
∴DF最短，即PM最短，当PM⊥AD时DF最短，
此时AM=AC-CM=10-6=4cm，
AP=AM•cos∠CAD=4×
=
cm；
③过点P作PN⊥AC于N，则PN=AP•sin∠CAD=
AP，
∵点Q从点A到点P的运动速度是5cm/s，从点P到点B的运动速度是3cm/s，
∴相当于点Q以3cm/s的速度从点N出发经点P到点B，
由垂线段最短，当BN⊥AC时，点Q的运动时间最小，
此时，BN、BE重合，t=
÷3=
秒．
∴BD=CD=
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由勾股定理得，AD=
| AB2-BD2 |
| 102-62 |
S△ABC=
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所以，
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解得BE=
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（2）①∵△CPM≌△CFD，
∴CM=CD=6cm；
②∵△CPM≌△CFD，
∴DF=PM，
∴DF最短，即PM最短，当PM⊥AD时DF最短，
此时AM=AC-CM=10-6=4cm，
AP=AM•cos∠CAD=4×
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③过点P作PN⊥AC于N，则PN=AP•sin∠CAD=
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∵点Q从点A到点P的运动速度是5cm/s，从点P到点B的运动速度是3cm/s，
∴相当于点Q以3cm/s的速度从点N出发经点P到点B，
由垂线段最短，当BN⊥AC时，点Q的运动时间最小，
此时，BN、BE重合，t=
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点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，垂线段最短，难点在于（2）考虑利用垂线段最短解答．
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