Question

2．如图（1），已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN都是等边三角形．
（1）求证：AN=BM；
（2）若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形（如图（2）所示），AN与BM的关系如何？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得：AC=MC，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，证明△ACN≌△MCB，可以得出结论；
（2）根据正方形的性质证明△ACN≌△MCB，可以得结论．

解答 证明：（1）如图1，∵△ACM、△BCN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
即∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CM}\\{∠ACN=∠MCB}\\{CN=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；
（2）AN=BM，理由是：
如图2，∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，
∴AC=CM，BC=NC，∠ACN=∠BCM=90°，
在△ACN和△MCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CM}\\{∠ACN=∠MCB}\\{NC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、正方形的性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．