题目内容
【题目】如图，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，抛物线
经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
为抛物线在第二象限内一点，并且在对称轴的左边，过点作轴的垂线，垂足为点
，与直线
交于点
，过点作轴的平行线交抛物线于点
，过点作轴的垂线，垂足为点
，设点的横坐标为
．
①当矩形
的周长最大时，求
的面积；
②在①的条件下，当矩形
的周长最大时，
是直线
上一点，
是抛物线上一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）①2；②存在，(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)
【解析】
（1）先求出
、
两点的坐标，再代入抛物线
求出
、
的值即可；
（2）①先用m表示出PM的长，再求出抛物线的对称轴及PQ的长，利用矩形的面积公式可得出其周长的解析式，进而可得出矩形面积的最大值，求出C点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
②根据C点坐标得出P点坐标，故可得出PC的长，再分点F在点G的上方与点F在点G的下方两种情况进行讨论即可．
解：（1）∵y=x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=-5，即A点坐标为(-5，0)，
当x=0时，y=5，即B点坐标为(0，5)，
将A(-5，0)，B(0，5)代入y=-x2+bx+c，
得
，
解得
，
∴抛物线的解析式为；
（2）①∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-m2-4m+5），∴PM=-m2-4m+5．
∵抛物线y=-x2-4x+5的对称轴为直线：
∴PQ=2（-2-m）=-4-2m．
∴矩形PQMN的周长l=2（PM+PQ）=2（-m2-4m+5-4-2m）
∴l=-2m2-12m+2=-2（m+3）2+20，
∵-2<0
∴当m=-3时，矩形PQMN的周长l最大，
此时点C的坐标为(-3，2)，CM=AM=2，
∴
；
②存在，点F坐标为(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)
由①可知，
以点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形
设
，则
当点F在点G上方时，如图1，
即
（舍）
当点F在点G下方时，如图2，
即
（舍）
或
点F坐标为(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)
【题目】由于新冠肺炎影响，全国开展了“停课不停学”线上教学，为了解学生在家学习情况，五月7日开学后，某中学1200名学生参加了入学摸底测试，为了了解本次测试成绩情况，王老师从中抽取了部分学生的数学成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组 | 频数 | 频率 |
50≤x＜60 | 8 | 0.16 |
60≤x＜70 | 12 | a |
70≤x＜80 | ■ | 0.5 |
80≤x＜90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合计 | ■ | 1 |
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1200名学生中有多少人的成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加学习经验分享活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．