Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+5与x交于点A，与y交于点B，与抛物线y=ax²+bx交于点C、D．已知点C坐标为（1，7），点C横坐标为5．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）将此抛物线沿对称轴向下平移几个单位，抛物线与直线AB一个交点．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）先把C点坐标代入y=kx+5求出k得到直线解析式为y=2x+5，再利用直线解析式确定D点坐标，然后把C点和D点坐标分别代入y=ax²+bx得到关于a、b的方程组，解方程组求出a和b即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线的平移问题，设将此抛物线沿对称轴向下平移b个单位，抛物线与直线AB一个交点，则平移后的抛物线为y=-x²+8x-b，把函数图象有一个交点转化为-x²+8x-b=2x+5有相等的实数解，然后利用根的判别式的意义得到△=（-6）²-4（b+5）=0，再解方程求出b即可．

解答：解：（1）∵直线y=kx+5过点C（1，7），
∴k+5=7，解得k=2，
∴直线解析式为y=2x+5，
当x=5时，y=2×5+5=15，则D点坐标为（5，15），
把C（1，7）和D（5，15）分别代入得

a+b=7 25a+5b=15

，解得

a=-1 b=8

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+8x；
（2）设平移后的抛物线为y=-x²+8x-b，
∵y=-x²+8x-b与直线AB一个交点，
∴-x²+8x-b=2x+5有相等的实数解，
整理得x²-6x+5+b=0，
∴△=（-6）²-4（b+5）=0，解得b=4，
即此抛物线沿对称轴向下平移4个单位，抛物线与直线AB一个交点．

点评：主要考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．也考查二次函数与几何变换和抛物线与直线的交点问题．