Question

（1997•广州）如图，点B的坐标为（0，-2），点A在x轴正半轴上，将Rt△AOB绕y轴旋转一周，得到一个圆锥．
（1）当圆锥的侧面积为

5

π时，求AB所在直线的函数解析式；
（2）若已知OA的长度为a，按这个圆锥的形状造一个容器，并在母线AB上刻出把这个容器的容积两等分的刻度点C，试用含a的代数式去表示BC的长度t（圆锥体积公式：V=

1

3

πr²h，其中r和h分别是圆锥的底面半径和高）．

Answer 1

分析：（1）设点A的坐标为（x，0），求出AB，根据侧面积得出方程

1

2

•2xπ•

x2+4

=

5

π，求出x，得出A的坐标，设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把A、B的坐标代入求出即可；
（2）作CE⊥BO，垂足为E，根据面积得出EC²×BE=OA²=a²，①根据相似得出

EC

BE

=

a

2

，②由①、②求出EC=

a

3 2

，根据△EBC∽△OBA，推出

t

AB

=

EC

a

，即可求出答案．

解答：（1）解：设点A的坐标为（x，0），
则AB=

OA2+OB2

=

x2+4

，
根据题意，得

1

2

•2xπ•

x2+4

=

5

π，
解得：x=1，（x=-1不合题意，舍去），
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，
把A（1，0），B（0，-2）分别代入上式得：

k+b=0 b=-2

，
解得：k=2，b=-2，
∴直线AB的函数解析式为y=2x-2；

（2）解：作CE⊥BO，垂足为E，
根据题意：

1

2

×

1

3

π×OA²×OB=

1

3

π×EC²×EB，
化简得：EC²×BE=OA²，
即EC²×EB=a²，①
∵△EBC∽△OBA，
∴

EC

BE

=

a

2

，②
由①、②，得
EC=

a

3 2

，
∵△EBC∽△OBA，
∴

t

AB

=

EC

a

，
∴t=

EC×AB

a

=

EC• a2+4

a

=

a 3 2 • a2+4

a

=

a2+4

3 2

即t=

3 4

2

a2+4

．

点评：本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要培养学生运用知识点进行计算和推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．